概述

数学心理学是利用数学模型来研究心理现象的心理学分支。用定量的方法来描述心理现象。由于研究的对象的复杂性，一般只能对研究作模糊定性上的描述，但在信息论、控制论、统计决策论和计算机科学发展的推动下，数学心理学也发展迅速，不断取得了新成果。用数学模型描述心理现象，其优越性不仅是它比自然语言的描述具有更大的概括性、准确性、演绎力和预测力，更重要的是它便于用计算机来模拟，为研究人工智能创造了更好的辅助。

历史

1860年德国心理学家费希纳在心理物理学研究中，最早用数学公式描述了客观物理量和主观感觉强度之间的函数关系。

1927年瑟斯顿在制定心理量表时提出了比较判断率，并用公式来表明两个刺激间的主观距离。

第二次世界大战后，在信息论、控制论、统计决策论和计算机科学的推动下，数学心理学发展迅速。

20世纪50年代初，埃斯蒂斯、布什和莫斯蒂勒提出的学习模型，是这一新方向的开端。

目前实验心理学的许多重要领域，如测量、决策、学习和社会的相互作用等方面，都已制定出大量的数学模型。

建立模型

一般说来，数学模型的建立，首先是把需要研究的心理现象，如知觉、学习 、决策等等，从复杂的心理活动中分离出来，构成一个特定的集合，把原始资料加工成集合中的客体和关系。然后用代数的、几何的、概率的、公理的形式，或者是计算机程序和方程式的形式，把它们表现出来。在这里，主要的问题是确定研究领域的经验系统 ，和表达它的形式系统之间的对应关系。

在数学模型建立之后，通过逻辑推理或数学运算可以推导出一定的结果。如果给模型以一定的解释，所推出的结果就可以看作是对经验系统的某种预测。进一步将预测值与实际测试值加以比较，依据二者的符合程度，还可以对数学模型加以修正。

用数学模型描述心理现象，其优越性不仅是它比自然语言的描述具有更大的概括性、准确性、演绎力和预测力，更重要的是它便于计算机的模拟，为人工智能的发展创造了条件。

启示

数学学习研究一般采用两种方式，一种是从一般心理学的理论出发，去对数学学习的具体问题作解释与分析；另一种是尽可能从数学学习的具体过程出发，研究学生学习的真实心理活动，分析其认知过程、机制及心智变化，逐步形成具有自身特点的数学学习理论。 尽管国际数学教育委员会（ICMI）属下的国际数学教育心理学研究组织（简称PME）极力倡导第二种方式，但从当前研究的实际状况看，上述两种方式都是必需的，而且在具体运用时它们常常是相辅相成的，很难加以区分。特别由于现代教育心理学理论有了长足的进展，我们更应重视运用其丰富的理论框架和多样化的学术视角对数学学习心理规律作深入的认识。

发展

1.行为主义理论

20世纪上半叶，行为主义占有主导地位，其基本立场是：学习研究不应涉及不可能观察到的心理过程，而只应局限于可见的行为，这样的研究才是科学的。美国心理学家桑代克是行为主义的代表人物，他提出了以"刺激-反应联结"和"试误"为主要特点的学习理论，认为学习就是形成刺激反应联结，这种联结是直接的、无中介的，是在反复的尝试（不断摒弃错误反应，保留正确反应）中所形成的。他在实验的基础上提出了三条学习定律：准备律、练习律和效果律。在1922年出版的著作《算术的心理学》中他指出，算术学习无非是一组针对某种数量和关系的特殊化的行为习惯。桑代克的观点为数学学习中的机械练习和训练提供了一定依据。另一位行为主义代表人物斯金纳进一步发展了行为主义的主张，提出了操作性条件原理，认为单纯的练习不能保证行为的重复出现，应借助于操作性条件的作用，而这种作用的形成取决于强化。由此他提出了“刺激反应强化”的学习模式，并设计了教学机器和程序教学。斯金纳的理论，为以后教育技术学的发展奠定了一定基础。

2.认知主义理论

20世纪下半叶，随着学习心理研究的不断深入，行为主义忽视学习的内在心理过程的严重缺陷已日益明显，越来越多的心理学家转向关注学习的内在过程，这促成了认知主义学习理论的形成。德国的格式塔是早期的认知主义代表（格式塔是一个德语词，意即完形），其核心人物有韦特海默、考夫卡、苛勒等。该学派主张思维是整体的有意义的知觉，他们以”完形“为基本概念，强调从整体上认识学习的本质，并提出了顿悟学习理论。早期对认知理论的形成施以影响的还有托尔曼，他所提出的"中间变量"（即学习主体的"内在机制"）的思想，成为其学习理论的核心概念。

 瑞士心理学家皮亚杰是当代认知主义的重要代表人物，他对心理的发生发展、认知结构及其机能等问题进行了深入研究，并提出了著名的认知建构理论、认知发展理论。”运算“（即思维操作）是皮亚杰理论中的关键概念，他据此将儿童认知发展分为四个主要阶段，即感觉-运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段，并讨论了各阶段认知发展的基本特征及相互联系。皮亚杰在《发生认识论原理》一书中提出"同化"和"顺应"的概念，被人们普遍运用于解释学习中的认知发展。他尤其对数学学习特有的心理特征给予了关注，他甚至运用数学方式定义了其认知理论中的一些概念（如思维结构、自反抽象等）。

3.数学学习理论

从20世纪六七十年代始，数学学习理论中的认知主义取代行为主义已成必然之势。布鲁纳提出了发现学习理论，强调学习进程是一种积极的认知过程，提倡知识的发现学习。他进行了大量的数学学习实验，并从中总结出四条数学学习原理，即建构原理、符号原理、比较和变式原理、关联原理。此外奥苏贝尔提出了"有意义学习"理论，加涅提出了"信息加工"学习理论。正是如此众多认知学习理论的出现，使数学心理研究范式发生了重要转变，并预示着认知理论将会有新的发展。

影响

建构主义是行为主义发展到认知主义以后的进一步发展，它是在吸取了众多学习理论，尤其是在皮亚杰、维果茨基思想的基础上发展和形成的。建构主义对“什么是学习活动的本质”从整体上及一定的认识论角度作出了科学的分析。尽管建构主义有诸多流派，但对学生学习有如下共识：（1）学习是一个积极主动的建构进程，学生不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息，建构其意义。（2）课本知识并不是对现实的准确表征，它只是一种解释，一种较为可靠的假设，学生对这些知识的学习是在理解基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。因此，知识可以视为个人经验的合理化，而不是说明世界的真理。（3）学习中知识建构不是任意的，它具有多向社会性和他人交互性。知识建构的过程应有交流、磋商，并进行自我调整和修正。（4）学生的学习过程是多元化的，由于对象的复杂多样化、学习情感的某种特殊性、个人经验的独特性，使得学生对对象意义的建构也是多维度的。建构主义学习理论对指导数学学习有多方面的意义： 首先，应该用建构主义观点看数学。数学本身也是主体建构的产物，它应该是活的、动态的、开放的、表现多维度的、并非绝对正确的数学活动的结果。这样的数学观将直接导致数学课程观和教学观的变化。

其次，应强调知识学习是一个建构过程，必须突出学习者的主体作用。教师的讲解并不能直接将知识传输给学生，教师只能通过组织者、合作者和引导者的身份，使学生主动参与到整个学习过程中去。此外，应更加关注学生学习的个性化特征，使其在知识学习中获得合理的个人经验的内化。但是又要看到知识的建构不仅是个人的，也是社会的。因此，课堂上师生的交互和共同的活动显得至关重要，“学习共同体”的形成以及对课堂社会环境和情境的营建成为获得数学学习成效的重要途径。

第三,几种值得学习借鉴的新学习理念诚如学生对知识的学习是一种主体的建构一样，人们对学习心理发展规律的认识也是一种主体的建构，这就必然形成对学习心理发展的多元化认识，促使若干新学习理念不断出现。比如，加德纳的“多元智力论”，认为每个人都或多或少具有多种智能（目前已提出9种），每个人都有自己的优势智力所在，它试图通过扩大学习的内容领域与知识的表征方式促进以往被忽视的智能的开发，充分发挥每个人的潜能；斯腾伯格的“成功智力说”，将成功引入智力研究范围，试图从智力活动的产品在现实中成功与否的角度评价智力；“交往教学理论”则把教学过程视为交往过程，注重师生交往的改进，强调学生个性的“自我实现”……凡此种种，为我们从更新的角度、更深的层次、更广的维度认识数学学习与身心发展关系提供了更富时代内涵的理论依据，值得深入学习探讨。